Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

$ax^2 + bx + c = 0$

Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta $a \neq 0$ .

Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau:

$y = ax^2 + bx + c$

Dengan x adalah variable bebas dan y adalah variable terikat. Sehingga nilai y tergantung pada nilai x, dan nilai-nilai x tergantung pada area yang ditetapkan. Nilai y diperoleh dengan memasukan nilai-nilai x kedalam fungsi.

Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola.

Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tersebut menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, grafik dari fungsi: $f(x) = x^2 - 2x - 3$ adalah:

grafik fungsi kuadrat

Jenis grafik fungsi kuadrat lain

1. Grafik fungsi $y = ax^2$
Jika pada fungsi $y = ax^2 + bx + c$ memiliki nilai b dan c sama dengan nol, maka fungsi kuadratnya:
$y = ax^2$
Pada grafik fungsi ini akan selalu memiliki garis simetris pada x = 0 dan titik puncak y = 0. Sebagai contoh $f(x) = 2x^2$ , maka grafiknya adalah:

2. Grafik fungsi $y = ax^2 + c$
Jika pada fungsi $y = ax^2 + bx + c$ memiliki nilai b = 0, maka fungsi kuadratnya sama dengan:
$y = ax^2 + c$
Pada fungsi ini grafik akan memiliki kesamaan dengan grafik fungsi kuadrat $y = ax^2$ yaitu selalu memiliki garis simetris pada x = 0. Namun, titik puncaknya sama dengan nilai c atau $y_{puncak} = c$ . Sebagai contoh = $2x^2$ + 2, maka grafiknya adalah:

3. Grafik fungsi $y = a(x-h)^2 + k$
Grafik ini merupakan hasil perubahan bentuk dari $y = ax^2 + bx + c$ . Pada fungsi kuadrat ini grafik akan memiliki titik puncak (x, y) sama dengan (h, k). Hubungan antara a, b, dan c dengan h, k sebagai berikut:
$(h, k) = [- \frac{b}{2a}, - (\frac{b^2 - 4ac}{2a})]$

Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

a. Grafik terbuka

Grafik $y = ax^2 + bx +c$ dapat terbuka ke atas atau ke bawah. Sifat ini ditentukan oleh nilai a. Jika $a> 0$ maka grafik terbuka ke atas, jika $a <$ maka grafik terbuka kebawah.

b. Titik Puncak

Grafik kuadrat mempunyai titik puncak atau titik balik. Jika grafik terbuka kebawah, maka titik puncak adalah titik maksimum. Jika grafik terbuka keatas maka, titik puncak adalah titik minimum.

c. Sumbu Simetri

Sumbu simetri membagi grafik kuadrat menjadi 2 bagian sehingga tepat berada di titik puncak. Karena itu, letaknya pada grafik $ax^2 + bx + c$ berada pada:
$x =-\frac{b}{2a}$

d. Titik potong sumbu y

Grafik $y = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu y di x = 0. Jika nilai x = 0 disubstitusikan ke dalam fungsi, diperoleh y = c. Maka titik potong berada di (0, c).

e. Titik potong sumbu x

Grafik kuadrat akan memotong sumbu x di y = 0, sehingga membentuk persamaan:
$ax^2 + bx + c$
Akar-akar dari persamaan tersebut adalah absis dari titik potong. Oleh karena itu, nilai diskriminan (D) berpengaruh pada keberadaan titik potong sumbu x sebagai berikut:
Jika $D>0$ , grafik memotong sumbu x di dua titik
Jika $D=0$ , grafik menyinggung sumbu x
Jika $D<0$ , grafik tidak memotong sumbu x
Jika digambarkan, sebagai berikut:

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk dengan syarat:
Diketahui tiga titik koordinat (x, y) yang dilalui oleh grafik
Ketiga koordinat tersebut, masing-masing disubstitusikan kedalam persamaan grafik:
$y = ax^2 + bx + c$
Sehingga didapat tiga persamaan berbeda yang saling memiliki variabel a, b dan c. Selanjutnya dilakukan teknik eliminasi aljabar untuk memperoleh nilai dari a, b dan c. Setelah diperoleh nilai-nilai itu, kemudian masing-masing disubstitusikan ke dalam persamaan $y = ax^2 + bx + c$ sebagai koefisien.
Diketahui titik potong dengan sumbu x dan satu titik yang dilalui
Jika titik potong sumbu x adalah $(x_1,0)$ dan $x_2,0$ , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$
Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui.
Diketahui titik puncaknya dan satu titik yang dilalui
Jika titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)$ , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:

$y = a(x - x_p)^2 + y_p$
Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui.

Fungsi Rasional

Fungsi Rasional
Fungsi rasional merupakan fungsi yang mempunyai bentuk umum

Dengan p dan d adalah polinomial dan d(x) ≠ 0. Domain dari V(x) merupakan seluruh bilangan real, kecuali pembuat nol dari d.
Adapun fungsi rasional yang paling sederhana, yakni fungsi y = 1/x dan fungsi y = 1/x².
Di mana keduanya mempunyai pembilang konstanta sertaa penyebut polinomial dengan satu suku. Dan kedua fungsi tersebut mempunyai domain semua bilangan real kecuali x ≠ 0.

Fungsi y = 1/x

Fungsi ini disebut juga sebagai fungsi kebalikan sebab setiap kita mengambil sembarang x (kecuali nol) maka akan menghasilkan kebalikannya sebagai nilai dari fungsi tersebut.
Yang artinya x yang besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, begitu juga sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut bisa dilihat pada gambar di bawah ini.

Tabel dan grafik di atas menunjukan beberapa hal yang menarik.
Yang pertama, grafik tersebut lolos pada uji garis vertikal. Yang berarti setiap garis vertikal pada bidang koordinat Cartesius akan memotong grafik pada maksimal satu titik.
Sehingga, y = 1/x adalah sebuah fungsi.
Yang kedua, sebab pembagian tidak terdefinisi jadi saat pembaginya nol, maka nol tidak akan mempunyai pasangan, sehingga menghasilkan jeda pada x = 0.
Hal tersebut sesuai dengan domain dari fungsi tersebut, yakni seluruh x anggota bilangan real kecuali 0.
Yang ketiga, fungsi tersebut adalah fungsi ganjil, dengan salah satu cabangnya terletak di kuadran I.
Sementara yang lainnya berada pada kuadran III.
Kemudian yang terakhir, pada kuadran I, saat x menuju tak hingga, nilai y menuju dan mendekati nilai nol.
Secara simbolis bisa kit tuliskan sebagai x → ∞, y → 0. Secara grafis, kurva dari grafik fungsi tersebut akan mendekati sumbu-x pada saat x mendekati tak hingga.
Tak hanya itu saja, kita juga bisa mengamati bahwa pada saat x mendekati nol dari kanan maka nilai y akan mendekati bilangan real positif yang sangat besar (positif tak hingga): x → 0+, y → ∞.
Untuk catatan, tanda + atau – yang berada di atas akan mengindikasikan arah dari pendekatan. Yakni dari sisi positif (+) atau dari sisi negatif (–).

Pengertian Pertidaksamaan Irasional

Pertidaksamaan Irasional merupakan suatu bentuk pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam tanda akarnya. Bentuk umum pertidaksamaan irasional ialah sebagai berikut ini :
Misal

Langkah – Langkah Penyelesaian

Setelah membaca penjelasan diatas, dibawah ini ada teknik langkah agar dapat menyelesaikan soal pertidaksamaan irasional :
Pertama menguadratkan kedua ruas pertidaksamaannya supaya bentuk akarnya menjadi hilang, setelah itu menentukan penyelesaiannya.
Kedua menetapkan syarat bagi fungsi yang berada tepat di bawah tanda akar. Tiap fungsi yang berada di bawah tanda akar tersebut harus menghasilkan nilai yang positif ataupun sama dengan nol (≥ 0).
Dan yang terakhir menentukan irisan antara penyelesaian utama dengan syarat-syaratnya sehingga dapat diperoleh penyelesaian dari pertidaksamaan irasional tersebut.

Search This Blog

Muhammad Rizki

FUNGSI: KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL

Fungsi Kuadrat